莫比乌斯反演常用结论

符号规约

\([A]\)，艾弗森括号，其中 \(A\) 为命题，若 \(A\) 为真，则该式值为 \(1\)，否则为 \(0\)。

常见积性函数

单位函数：\(\large{e(n)=[n=1]}\)

幂函数：\(\large\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)

常数函数：\(\large{1(n)=1}\)

因数个数：\(\large\operatorname{d}(n)=\sum\limits_{d\mid n}1\)

除数函数：\(\large\sigma_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}d^k\)

欧拉函数：\(\large\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(i,n)=1]\)

莫比乌斯函数：

\[\large\mu(n) = \begin{cases}1 &n=1\\0 &n\ \text{含有平方因子}\\(-1)^k &k\text{为}\ n\ \text{的本质不同质因子个数} \end{cases}\]

常用结论

\[\large{\begin{align*} [\gcd(x,y)=1] &= \sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d) \\ &= \sum_{d=1}\mu(d)[d|x][d|y] \end{align*}} \]