微积分快速入门5部分:基本算术、规律及花式算术-牛翰网

微积分快速入门5部分:基本算术、规律及花式算术

12 微积分的基本算术

12.1 加法

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12.2 乘法

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12.3 简单除法(倒数)

  • 你们原来的份额是 1/x(当 x=2 时,你有 1/2)。
  • 有人进来
  • 你的新份额变成1/(x+1)

你的蛋糕数量是如何变化的?

在求出总变化(及其恼人的代数)后,我们除以 dx,就得到了 “每 dx ”的变化:

现在,我们去掉剩余的 dx,也就是测量的假象:

13 规律

我们已经揭示了微积分的前几条规则:

与其匆匆研究更多的规则,不如退一步。这里有什么规律吗?

13.1 结合视角

想象一下,一个企业的各个部门之间相互影响,或者一台机器的各个部件之间相互关联。当我们做出改变时会发生什么?每个部分都可能受到影响。

如果我们的企业有 4 个部门,而我们要做出政策改变,那么就有 4 个视角需要考虑。写出来听起来很简单:每当发生变化时,看看每个部分会发生什么变化!

无论 F 部分和 G 部分之间的具体互动如何(加法、减法、乘法、指数……),我们只需考虑两个角度:

  • 在加法中,每个部分都会增加一个直接变化 (df + dg)
  • 乘法时,每个部分都认为自己会增加一个矩形条 (fdg + gdf)

我们再进一步想:那么a*b+c的导数呢?应该加上三个角度:da、db、dc。

13.2 维度直觉

微积分只关心量,而不关心它们的维度。方程很乐意连接x和x^2,尽管我们知道长度和面积不能混用。单位增加了等式之外的意义,有助于保持事物的条理性,并在出错时向我们发出警告(如果你微分了面积却得到了体积,你就知道出错了)。

13.3 用尺寸思考

您可以在不研究具体公式的情况下思考导数的维度。想象一下下面的情景:

  • 用一根绳子紧紧缠绕 25 美分硬币。再拿一根绳子紧紧绕住地球。
  • 把两根绳子都拉长,在末端再加长一些,这样四分之一周围就会有 1 英寸的空隙,地球周围也会有 1 英寸的空隙(就像土星周围漂浮着一个环)。
  • 小测验: 哪种情况需要更多的绳子?是在硬币周围放 1 英寸的间隙需要更多的绳子,还是在地球周围放 1 英寸的间隙需要更多的绳子?
    我们可以通过公式来计算,但要从更高层次来思考。因为圆周率是一条 1-d 的线,它对变化的反应(导数)将是一个常数。无论当前大小如何,每次推动圆周率的变化量都是相同的。因此,两者所需的额外绳子是一样的!(半径每增加一英寸大约需要 6.28 英寸)。

现在,假设我们是在球体上涂画,而不是在它周围放一根绳子。啊,好吧,面积是平方的,因此导数要低一维(线性)。如果我们有一个 5 英寸和 10 英寸的球体,并把它们分别做大 1 英寸,那么大的球体需要多涂一倍的颜料。

参考资料

  • 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞,谢谢!
  • 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞! https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
  • python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
  • Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

14 微积分的花式算术

这是我们目前掌握的规则:

14.1 幂法则

我们已经计算出

过程类似。我们可以在两边各粘一块板,以扩大立方体。缺失的沟槽 “代表人工制品,我们的新板块会在这里相互影响。

我必须不断提醒自己:凹槽并不真实!它们代表的是在这一步没有发生的生长。生长完成后,我们将立方体 “融化 ”到新的总面积中,然后再次生长。计算凹槽会高估这一步的增长。(现在,如果我们被迫采取整数大小的步骤,那么就需要沟槽了–但如果是无限可分的小数,我们就可以顺利地改变)。

从图中,我们可以猜到:

没错!但我们必须把结果形象化。代数等抽象概念可以让我们处理我们无法直观看到的情况,比如十维形状。几何图形是一个很好的、可视化的起点,但我们需要超越它。

我们可以像这样用代数开始分析一个立方体:

呀。项数越来越多了,快吓死人了。如果我们想要 10 次幂呢?当然,代数有捷径,但我们还是要从整体上考虑问题。

我们的立方体有三个部分:边。将它们分别称为 a、b 和 c,以保持直观。直观地说,我们知道总变化来自每个面:

每个面认为自己带来了什么变化?

  • a 认为我的变化 (da) 与其他不动的双方得到dabc
  • b 认为我的变化 (db) 与其他不动的双方得到dbac
  • c 认为我的变化 (dc) 与其他不动的双方得到dcba

将其转换为 “每 dx ”的比率,我们就得到了:

很好!现在,死记硬背的策略就是 “把指数往下拉,然后减一”。这不是学习!

这样想:

  • x^3 有 3 个相同的视角。
  • 当系统发生变化时,所有 3 个视角的贡献都是相同的。因此,导数将是3*something
  • something是一边的变化乘以其余两边,指数降低了1。

14.2 幂的积分

让我们试着进行幂的积分,将一组变化逆推到原始模式中。

想象一下建筑工地。第一天,他们订购了三块 11 块木板。第二天,他们订购了三块 22 块木板。然后是三块 33 块木板。然后是三块 44 块木板。他们在造什么?

我猜是一个立方体。他们正在一层一层地建造一个外壳,也许还在排水沟之间涂上了灌浆,把它们粘在一起。

同样,如果我们看到一系列变化,比如3x^2这样的一系列变化,我们就能想象出这些板块正在组装成一个立方体:

好了–我们从前面的结果开始往回推。但是,普通的x^2? 好吧,试想一下,输入的变化被分成三份:

啊!现在我们有 3 块板(每块是原来的 1/3),我们可以积分出一个更小的立方体。想象一下,“流入的材料 ”被分成三堆来堆砌正方体:

如果我们有 3 堆大小为 x^2,我们就能做出一个完整的立方体。否则,我们就能做出一个迷你立方体,只有它的 1/3 大。

一般的整合规则是

经过一段时间的练习,你就会自动完成除法。但现在你知道为什么需要这样做了:我们必须把进入的 “变化材料 ”分成几个面。(建一个正方形?在两个面之间分担变化。拼立方体?分给 3 个面。建一个四维超立方体?给我打电话)。

14.3 商法则

我们已经看到了逆的导数(“简单除法”):

还记得蛋糕的比喻吗?我们把现有的蛋糕1/x切成x片,然后送出一片。

现在,我们如何求出 f/g的导数? 系统中的一个部分试图让我们成长,而另一个部分则把我们分割开来。哪个赢了?

在求x^3的导数时,我们把它想象成abc,这有助于简化互动。我们需要考虑的只是3个不同的视角,而不是 x 的乘法运算。

同样,我们可以将 f/g作为两个视角:

我们知道a=f和b=1/g. 从这个放大的视角看,它就像一个普通的、矩形的、产品规则的方案:

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