6.矩阵的行列式-代数余子式

6.1 余子式和代数余子式

设存在n阶行列式\(|A|\)，并存在\(|A|\)中的元素\(a_{ij}\)

则\(|A|\)中，除去元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列所有元素后，剩下元素所形成的行列式称为\(a_{ij}\)的\(余子式\)，记为\(M_{ij}\)

且存在\(A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij} \Rightarrow A_{ij}\)称为\(a_{ij}\)的\(代数余子式\)

6.2 代数余子式在行列式求值中的应用

6.2.1 通过某元素的代数余子式求行列式的值

设存在如下行列式

\[|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 &…& 0\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

若|A|中，第1行元素除\(a_{11}\)外均为0，则根据下三角元素行列式求值方法及后续分块矩阵知识点，可得：

\[\tag {1} |A|= \begin{vmatrix} a_{11} & \cancel{0} & \cancel{0} &…& \cancel{0}\\ \cancel{a_{21}} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ \cancel{a_{31}} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ \cancel{a_{n1}} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} =a_{11}\cdot \begin{vmatrix} \cancel{a_{11}} & \cancel{0} & \cancel{0} &…& \cancel{0}\\ \cancel{a_{21}} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ \cancel{a_{31}} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ \cancel{a_{n1}} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} =a_{11}\cdot M_{11}=a_{11}\cdot A_{11} \]

根据以上推论，若存在以下包含元素\(a_{ij}\)的行列式：

\[|A|’= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ 0 & 0… & a_{ij} &0…& 0\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

若|A|’中，第i行元素除\(a_{ij}\)外均为0

则根据行列互换的性质，可先将第i行分别与第\((i-1),(i-2),(i-3),…,1\)行互换：

\[|A|’=(-1) \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ 0 & 0… & a_{ij} &0…& 0\\ a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & …a_{(i-1)j} &…& a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & …a_{(i+1)j} &…& a_{(i+1)n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \]

\[…… \]

\[=(-1)^{i-1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0… & a_{ij} &0…& 0\\ a_{11} & a_{12} & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{2j} &…& a_{2n}\\ & & ……\\ a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2} & …a_{(i-1)j} &…& a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2} & …a_{(i+1)j} &…& a_{(i+1)n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \]

再将第j列分别与第\((j-1),(j-2),…,1\)列互换：

\[|A|’=(-1)^{(i-1)+ 1} \begin{vmatrix} 0 & 0… & a_{ij} &0 &0…& 0\\ a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &a_{1(j-1)} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &a_{2(j-1)} &…& a_{2n}\\ & & ……\\ a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2}… & a_{(i-1)j} &a_{(i-1)(j-1)} &…& a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2}… & a_{(i+1)j} &a_{(i+1)(j-1)} &…& a_{(i+1)n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &a_{n(j-1)} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

\[… \]

\[=(-1)^{(i-1)+ (j-1)} \begin{vmatrix} a_{ij} &0 & 0… & 0 &0…& 0\\ a_{1j} &a_{11} & a_{12}… & a_{1(j-1)} &…& a_{1n}\\ a_{2j} &a_{21} & a_{22}… & a_{2(j-1)} &…& a_{2n}\\ & & ……\\ a_{(i-1)j} &a_{(i-1)1} & a_{(i-1)2}… & a_{(i-1)(j-1)} &…& a_{(i-1)n}\\ a_{(i+1)j} &a_{(i+1)1} & a_{(i+1)2}… & a_{(i+1)(j-1)} &…& a_{(i+1)n}\\ & & ……\\ a_{nj} &a_{n1} & a_{n2}… & a_{n(j-1)} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

根据公式(1)可得：

\[\qquad\qquad\qquad|A|’=a_{ij}\cdot (-1)^{(i-1)+ (j-1)}\cdot M_{ij}\\ \qquad\qquad\quad=a_{ij}\cdot (-1)^{(i+j)}\cdot M_{ij}\\ =a_{ij}\cdot A_{ij} \]

\(\Rightarrow\) 对任意行列式\(|A|\)及其中任意元素\(a_{ij}\)，存在：

\[\tag{2} |A|= a_{ij}\cdot A_{ij} \]

**注意区分：\(|A|\)为矩阵A的行列式，\(A_{ij}\)为元素\(a_{ij}\)的代数余子式

6.2.2 行列式的按行/按列展开（行列式的降阶）

设存在以下包含第i行的行列式\(|A|\)：

\[|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{i1} & a_{i2}… & a_{ij} &…& a_{in}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

则根据行列式的行相加规则，有：

\[|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{i1} &0… & 0 &…& 0\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

\[+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ 0 &a_{i2}… & 0 &…& 0\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

\[+……\\ + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ 0 &0… & a_{ij} &…& 0\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

\[+……\\ + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}… & a_{1j} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}… & a_{2j} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}… & a_{3j} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ 0 &0… & 0 &…& a_{in}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2}… & a_{nj} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

则根据下三角元素行列式及分块矩阵求值方法得：

\[\tag{3} |A|=a_{i1}\cdot A_{i1}+a_{i2}\cdot A_{i2}+…+a_{in}\cdot A_{in} =\sum_{x=1}^n a_{ix}\cdot A_{ix} \]

同理可得同一列元素也具有：

\[\tag{4} |A|=a_{1i}\cdot A_{1i}+a_{2i}\cdot A_{2i}+…+a_{ni}\cdot A_{ni} =\sum_{x=1}^n a_{xi}\cdot A_{xi} \]

6.2.3 行列式的【异乘变零】定理

设存在以下包含第\(i\)行和第\(j\)行的行列式

\[|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} &…& a_{in}\\ & & ……\\ a_{j1} & a_{j2} & a_{j3} &…& a_{jn}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

根据行列式的【异乘变零】定理，有：

\[\tag{5} \sum_{x=1}^na_{ix}\cdot A_{jx}=0 \]

**【异乘变零】定理的证明过程略（题主不认同牵强附会的证明方法）

来源链接：https://www.cnblogs.com/efancn/p/18652080