8.矩阵的逆

8.1 相关性质

性质1：若矩阵A可逆，则\(A^{-1}\)也可逆：

\[(A^{-1})^{-1}=A \]

• 性质1的证明：\(A \cdot A^{-1}=E\)

性质2：若矩阵A可逆，则\(\lambda \cdot A\)也可逆：

\[(\lambda \cdot A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\cdot A^{-1} \]

• 性质2的证明：\(\lambda \cdot A\cdot \frac{1}{\lambda}\cdot A^{-1}=E\)

性质3：若矩阵A、矩阵B均可逆，且A、B为同阶矩阵，则 \(A\cdot B\)亦可逆：

\[(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1} \]

• 性质3的证明：\(A \cdot B \cdot B^{-1} \cdot A^{-1}=A \cdot E \cdot A^{-1}=E\)

性质4：若A可逆，则\(A^T\)也可逆：

\[(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T \]

• 性质4的证明：\(A^T \cdot (A^{-1})^T=(A^{-1} \cdot A)^T=E^T=E\)

8.2 特殊的逆阵

（1）二阶矩阵的逆阵

设存在二阶矩阵A:

\[A= \begin{bmatrix} a &b \\ c &d \\ \end{bmatrix} \]

则:

\[|A|=ad-bc \]

\[A^*=\begin{bmatrix} A_{11} &A_{21} \\ A_{12} &A_{22}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d &-b \\ -c &a\\ \end{bmatrix}\\ \]

\[\Rightarrow A^{-1}= \frac {A^*}{|A|}=\frac {1}{ad-bc} \cdot \begin{bmatrix} d &-b \\ -c &a\\ \end{bmatrix}\\ \]

（2）单位矩阵E的逆阵

\[E^{-1}=E \]

(3)对角矩阵的逆阵

设存在对角矩阵A：

\[A= \begin{bmatrix} \lambda_1 &0&…&0 &0 &0 \\ 0 &\lambda_2 & 0 &…&0 &0\\ 0 & 0 & \lambda_3 &0 &… &0\\ & & &……\\ 0 & 0 & 0 &… &0 &\lambda_n \end{bmatrix}\\ \]

则存在\(A^{-1}\)，使\(A \cdot A^{-1}=E\)：

\[A^{-1}= \begin{bmatrix} \lambda_1^{-1} &0&…&0 &0 &0 \\ 0 &\lambda_2^{-1} & 0 &…&0 &0\\ 0 & 0 & \lambda_3^{-1} &0 &… &0\\ & & &……\\ 0 & 0 & 0 &… &0 &\lambda_n^{-1} \end{bmatrix}\\ \]

8.3 矩阵的逆在线性回归算法中的应用

设:

存在数值\(y_i,a_j,x_{ij}\),其中：

\[y_i \in R^1(i=1,2,3,…,N)\\ a_j \in R(j=1,2,3,…,n)\\ x_{ij} \in R^n(i=1,2,3,…,N;j=1,2,3,…,n) \]

且\(y_i,a_j,x_{ij}\)满足：

\[\begin{cases} y_1=a_1x_{11}+a_2x_{12}+a_3x_{13}+…+a_nx_{1n}\\ y_2=a_1x_{21}+a_2x_{22}+a_3x_{23}+…+a_nx_{2n}\\ y_3=a_1x_{31}+a_2x_{32}+a_3x_{33}+…+a_nx_{3n}\\ …\\ y_N=a_1x_{N1}+a_2x_{N2}+a_3x_{N3}+…+a_nx_{Nn}\\ \end{cases} \]

则\(y_i,a_j,x_{ij}\)可对应以下矩阵Y、A、X:

\[Y= \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\ …\\ y_N \end{bmatrix}, A=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ …\\ a_n \end{bmatrix}, X= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & … & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & … & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & … & x_{3n}\\ &&……\\ x_{N1} & x_{N2} & x_{N3} & … & x_{Nn}\\ \end{bmatrix} \]

\(y_i,a_j,x_{ij}\)的关系用矩阵可表示为：\(Y=A\cdot X\)

若现已知存在矩阵\(Y、X、X^{-1}\)，则在n=N的情况下可求得矩阵A：

\[A=Y\cdot X^{-1} \]

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