9.矩阵的逆-分块矩阵

9.1 分块矩阵的加法

设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵，且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块，其中：

\[A= \begin{bmatrix} A_{11} &…&A_{1t}\\ &…&\\ A_{s1} &…&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

\[B= \begin{bmatrix} B_{11} &…&B_{1t}\\ &…& \\ B_{s1} &…&B_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则：

\[A+B= \begin{bmatrix} A_{11}+B_{11} &…&A_{1t}+B_{1t}\\ & …&\\ A_{s1}+B_{s1} &…&A_{st}+B_{st}\\ \end{bmatrix} \]

9.2 分块矩阵的乘法

（1）设A为\(m\times n\)的矩阵，\(\lambda \in R\)，将A划分为\(s \times t\)块：

\[A=\begin{bmatrix} A_{11} &…&A_{1t}\\ &…&\\ A_{s1} &…&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则：

\[\lambda \cdot A= \begin{bmatrix} \lambda A_{11} &…& \lambda A_{1t}\\ &…&\\ \lambda A_{s1} &…& \lambda A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

（2）设矩阵\(A、B均为m\times n\)的矩阵，且A、B均按相同的方式划分为\(s \times t\)块，其中：

\[A= \begin{bmatrix} A_{11} &…&A_{1t}\\ &…&\\ A_{s1} &…&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

\[B= \begin{bmatrix} B_{11} &…&B_{1t}\\ &…& \\ B_{s1} &…&B_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则：

\[A\times B= \begin{bmatrix} C_{11} &…&C_{1t}\\ &…&\\ C_{s1} &…&C_{st}\\ \end{bmatrix} \]

\[其中每块均按矩阵乘法规则进行计算：\\ \begin{cases} C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}+…+A_{1t}B_{s1}\\ …\\ C_{s1}=A_{s1}B_{11}+A_{s2}B_{21}+A_{s3}B_{31}+…+A_{st}B_{s1}\\ … \end{cases} \]

9.3 分块矩阵的转置

设A为\(m\times n\)的矩阵，将A划分为\(s \times t\)块：

\[A= \begin{bmatrix} A_{11} &…&A_{1t}\\ &…&\\ A_{s1} &…&A_{st}\\ \end{bmatrix} \]

则：

\[A^T= \begin{bmatrix} A^T_{11} &…&A^T_{1t}\\ &…&\\ A^T_{s1} &…&A^T_{st}\\ \end{bmatrix} \]

9.4 分块对角阵

设A为\(m\times n\)的矩阵，若A中的元素分块后可形成如下的对角矩阵：

\[A= \begin{bmatrix} A_1 &0&…&0 &0 &0 \\ 0 &A_2 & 0 &…&0 &0\\ 0 & 0 & A_3 &0 &… &0\\ & & &……\\ 0 & 0 & 0 &… &0 & A_n \end{bmatrix}\\ \]

则称A为分块对角阵，其性质与对角矩阵相同，如下：

\[性质1：|A|=|A_1|\cdot |A_2|\cdot ……\cdot |A_n|\\ \]

\[性质2： A^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1}_1 &0&…&0 &0 &0 \\ 0 &A^{-1}_2 & 0 &…&0 &0\\ 0 & 0 & A^{-1}_3 &0 &… &0\\ & & &……\\ 0 & 0 & 0 &… &0 & A^{-1}_n \end{bmatrix}\\ \]