15 特征值和特征向量

15.1 定义

设存在n阶矩阵A:

\[A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

对于n阶矩阵$A$，若存在数$\lambda$、n维非零列向量$x$，使：

\[\tag{1} A \cdot x=\lambda \cdot x \]

则称数$\lambda$为矩阵A的$特征值$，称$x$为A对应于$\lambda$的$特征向量$

15.2 相关性质

由定义$A \cdot x=\lambda \cdot x $可得：

\[(A-E\lambda)\cdot x= \]

\[\tag{2} \begin{bmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}-\lambda\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ …\\ x_n \end{bmatrix} = O \]

\[式(2)为齐次方程，且x存在非零解 \]

由上可推出以下性质：

\[\begin {array}{c} 性质1&由克莱姆法则可知：|A-\lambda \cdot E|=0\\\\ 性质2&\lambda_1+\lambda_2+…+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+…+a_{nn}\\\\ 性质3&\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot…\cdot\lambda_n=|A|\\\\ 性质4&(1)A^2的特征值是\lambda^2 ；(2)A^{-1}特征值是\frac{1}{\lambda}（A可逆） \\\\ 性质5&由性质4可得\varphi(\lambda)是\varphi(A)的特征值（\varphi()表示多项式）\\\\ 性质6&\lambda_1，\lambda_2，…，\lambda_n各不相等 \Rightarrow 对应的特征向量线性无关 \end {array} \]

性质4相关证明过程如下：

（1）由$Ax=\lambda x$得：

\[A^2 x=A \cdot \lambda x \]

\[\Rightarrow A^2 x=\lambda^2 x \]

（2）由$Ax=\lambda x$得：

\[x=\lambda x \cdot A^{-1} \]

\[\Rightarrow \frac{1}{\lambda}\cdot x=A^{-1} \cdot x \]

15.3 特征值、特征向量求解示例

15.3.1 示例1：二阶矩阵的求解

设存在矩阵：

\[A= \begin{bmatrix} 3&-1\\ -1&3 \end{bmatrix} \]

A的特征值求解过程如下：

\[|A-\lambda \cdot E|= \begin{vmatrix} 3-\lambda&-1\\ -1&3-\lambda \end{vmatrix} =(3-\lambda)^2-1 \]

\[\qquad\qquad\quad =8-6\lambda+\lambda^2 =(4-\lambda)\cdot(2-\lambda) \]

由性质1可知：

\[(4-\lambda)\cdot(2-\lambda)=0 \Rightarrow (\lambda_1=4,\lambda_2=2) \]

设A对应$\lambda_1=4$的特征向量为$p_1$，则$p_1$求解过程如下：

\[由： (A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0 可得： \]

\[\begin{bmatrix} 3-4&-1\\ -1&3-4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \]

\[\qquad\quad\; \Rightarrow-x_1-x_2=0 \]

\[ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x_1=-x_2 \]

则$p_1$可取值为：

\[p_1= k \cdot \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} (k\in R,k \neq 0) \]

同理，设A对应$\lambda_2=2$的特征向量可取值为$p_2$，则：

\[p_2= k \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} (k\in R,k \neq 0)（求解过程略） \]

15.3.2 示例2：三阶矩阵的求解（有亏损的情况）

设存在如下矩阵：

\[A= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ -4&3&0\\ 1&0&2 \end{bmatrix} \]

A的特征值求解过程如下：

\[|A-\lambda \cdot E|= \begin{vmatrix} -1-\lambda&1&0\\ -4&3-\lambda&0\\ 1&0&2-\lambda \end{vmatrix}=0 \]

将上式按第3列展开，得：

\[（2-\lambda）\cdot [(-1-\lambda)\cdot(3-\lambda)+4]=0 \]

\[(2-\lambda)\cdot(1-2\lambda+\lambda^2)=0 \]

\[(2-\lambda)\cdot(\lambda-1)^2=0 \]

解得：

\[\lambda_1=2，\lambda_2=\lambda_3=1 \]

设A对应$\lambda_1=2$的特征向量为$p_1$，则$p_1$求解过程如下：

\[A-\lambda \cdot E= \begin{bmatrix} -3&1&0\\ -4&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix} \]

上式中，第3列为全0，故可进行$矩阵初等行变换$，尽量接近或等价于矩阵标准形：

$r_1 – r_2$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -4&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix} \]

$r_2 + 4r_3$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix} \]

$r_3 – r_1$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

上式中，第3行为全0，可产生1个$自由变量$

由$(A-\lambda \cdot E)\cdot x=0$得：

\[\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \]

\[\Rightarrow x_1=0，x_2=0 \]

设：$x_3$为自由变量，且$x_3=1$

可解得：

\[p_1= k \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} (k\in R,k \neq 0) \]

设A对应$\lambda_2=\lambda_3=1$的特征向量为$p_2,p_3$，则$p_2,p_3$求解过程如下：

\[A-\lambda \cdot E= \begin{bmatrix} -2&1&0\\ -4&2&0\\ 1&0&1 \end{bmatrix} \]

根据观察，可进行$初等行变换$，尽量接近或等价于矩阵标准形：

$r_2 \cdot \frac{1}{2}$：

\[= \begin{bmatrix} -2&1&0\\ -2&1&0\\ 1&0&1 \end{bmatrix} \]

$r_2+2r_3$：

\[\begin{bmatrix} -2&1&0\\ 0&1&2\\ 1&0&1 \end{bmatrix} \]

$r_1-r_2$：

\[\begin{bmatrix} -2&0&-2\\ 0&1&2\\ 1&0&1 \end{bmatrix} \]

$r_1+3r_3$：

\[\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&2\\ 1&0&1 \end{bmatrix} \]

$r_3-r_1$：

\[\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&2\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

$上式中，第3行为全0，故按行乘以x$

$由(A-\lambda \cdot E)\cdot x=0得：$

\[\begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&2\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \]

\[\Rightarrow \begin {cases} x_1+x_3=0 \\ x_2+2x_3=0 \\ \end {cases} \]

$由第3行为全0，可设x_3为自由变量且x_3=1，可解得：$

\[p_2=p_3= k \cdot \begin{bmatrix} -1\\ -2\\ 1 \end{bmatrix} (k\in R,k \neq 0) \]

*总结：

\[一般情况下，三阶矩阵应产生3个特征值、3个特征向量。 \]

\[而本案例中，共产生2个特征值（\lambda_1,\lambda_2=\lambda_3），2个特征向量（p_1,p_2=p_3），因此产生了亏损 \]

15.3.3 示例3：三阶矩阵的求解（无亏损的情况）

设存在如下矩阵：

\[A= \begin{bmatrix} -2&1&1\\ 0&2&0\\ -4&1&3 \end{bmatrix} \]

A的特征值求解过程如下：

经过观察，可将$|A-\lambda \cdot E|$的第2行按行展开

\[|A-\lambda \cdot E|=(2-\lambda) \cdot \begin{vmatrix} -2-\lambda&1\\ -4&3-\lambda \end{vmatrix} \]

\[=(2-\lambda) \cdot [(-2-\lambda) \cdot (3-\lambda)+4] \]

\[=(2-\lambda) \cdot (-2-\lambda+\lambda^2) \]

\[=(2-\lambda) \cdot (\lambda+1)(\lambda-2) \]

解得：

\[\lambda_1=-1，\lambda_2=\lambda_3=2 \]

设A对应$\lambda_1=-1$的特征向量为$p_1$，则$p_1$求解过程如下：

\[(A-\lambda_1 \cdot E)= \begin{bmatrix} -1&1&1\\ 0&3&0\\ -4&1&4 \end{bmatrix} \]

根据观察，可对上式进行$初等行变换$，使结果接近或等价于矩阵标准形：

$r_1-r_4$：

\[= \begin{bmatrix} 3&0&-3\\ 0&3&0\\ -4&1&4 \end{bmatrix} \]

$r_1\cdot \frac{1}{3}$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&3&0\\ -4&1&4 \end{bmatrix} \]

$r_2\cdot \frac{1}{3}$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&0\\ -4&1&4 \end{bmatrix} \]

$r_3+4r_1$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix} \]

$r_3-r_2$：

\[= \begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \]

$由(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0得$：

\[\begin{bmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \]

$(A-\lambda_1 \cdot E)$第3行为全0（存在1个自由变量），故可按行乘以$x$，有：

\[\begin {cases} x_1=x_3\\ x_2=0 \end {cases} \]

设$x_3$为自由变量且$x_3=1$，可解得：

\[p_1= k \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} (k\in R,k \neq 0) \]

设A对应$\lambda_2=\lambda_3=2$的特征向量为$p_2,p_3$，则$p_2,p_3$的求解过程如下：

\[(A-\lambda_2\cdot E)= \begin{bmatrix} -2-2&1&1\\ 0&2-2&0\\ -4&1&3-2 \end{bmatrix} \]

\[= \begin{bmatrix} -4&1&1\\ 0&0&0\\ -4&1&1 \end{bmatrix} \]

经过观察，可对上式进行$初等行变换$，使结果接近或等价于矩阵标准形：

$r_2 \leftrightarrow r_3$：

\[\begin{bmatrix} -4&1&1\\ -4&1&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \]

$r_2-r_1$：

\[\begin{bmatrix} -4&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \]

由$(A-\lambda_2\cdot E)x=0$得：

\[\begin{bmatrix} -4&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \]

经过观察，第2行、第3行为全0（产生2个自由变量），可按行乘以$x$得：

\[-4x_1+x_2+x_3=0 \]

设$x_1,x_2$为自由变量

若$x_1=1，x_2=0$，可解得：

\[p_2 = k \cdot \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 4\\ \end{bmatrix} (k \in R,k\neq 0) \]

若$x_1=0，x_2=1$，可解得：

\[p_3 = k \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ -1\\ \end{bmatrix} (k \in R,k\neq 0) \]

*总结：

\[本案例中，虽仅产生2个特征值（\lambda_1,\lambda_2=\lambda_3），但特征向量产生了3个（p_1,p_2，p_3），因此无亏损 \]