微积分笔记01：方向导数与梯度

1.1 方向导数

1.1.1 方向导数引入

设二维坐标系中存在点\(P(x_0,y_0)\)，且存在某一方向\(l\)，\(l\)与\(x\)轴夹角为\(\alpha\)，\(l\)与y轴夹角为\(\beta\)

若点\(P\)沿方向\(l\)移动了t个单位距离后得到点\(P'(x,y)\)，则由二维坐标系相关性质，\(P\)与\(P’\)的坐标存在以下关系：

\[\begin{cases} x=x_0+t\cdot cos\alpha\\ y=y_0+t\cdot cos\beta \end{cases} \]

设三维坐标系中存在函数：

\[z=f(x,y) \]

则点P的移动距离对函数\(f(x,y)\)的影响可描述为：

\[\frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)} =\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{f(x_0+t\cdot cos\alpha，y_0+t\cdot cos\beta)-f(x_0，y_0)}{t} \]

\[=\lim\limits_{t \to 0^+} \frac { f(x_0+t\cdot cos\alpha，y_0+t\cdot cos\beta) – f(x_0，y_0+t\cdot cos\beta) + f(x_0，y_0+t\cdot cos\beta) – f(x_0，y_0) } {t} \]

\[=\lim\limits_{t \to 0^+} \frac { [f(x_0+t\cdot cos\alpha，y_0+t\cdot cos\beta) – f(x_0，y_0+t\cdot cos\beta)]\cdot \cos\alpha }{t \cdot \cos\alpha} + \frac { [f(x_0，y_0+t\cdot cos\beta) – f(x_0，y_0)]\cdot \cos\beta }{t\cdot cos\beta} \]

\[=f’_x(x_0,y_0)\cdot cos\alpha+f’_y(x_0,y_0)\cdot cos\beta \]

1.1.2 方向导数相关定理

设存在函数\(f(x,y)\)，且存在点\(P(x_0,y_0)\)

若函数\(f(x,y)\)在点\(P(x_0,y_0)\)处可微分，则点\(P\)沿方向\(l\)移动时存在方向导数\(\frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)}\)，且有：

\[\tag{1} \frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)}=f’_x(x_0,y_0)\cdot cos\alpha+f’_y(x_0,y_0)\cdot cos\beta \]

1.2 梯度

1.2.1 梯度的定义

设函数\(f(x,y)\)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于任一点\(P(x_0,y_0) \in D\)，存在向量：

\[\tag{2} f’_x(x_0,y_0)\cdot i+f’_y(x_0,y_0)\cdot j \]

称该向量为\(f(x,y)\)在点\(P(x_0,y_0)\)处的梯度，记为\(gradf(x_0,y_0)\)，或\(\nabla f(x_0,y_0)\)

1.2.2 以梯度求方向导数

设存在单位向量\(e_l=(cos\alpha,cos\beta)\)

若函数\(f(x,y)\)在\(P(x_0,y_0)\)处可微分，则有：

\[\frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)}=\nabla f(x_0,y_0)\cdot e_l=|\nabla f(x_0,y_0)|\cdot cos\theta \]

\(e_l\)与\(l\)方向相同的情况：

若\(\theta=0\)，则\(e_l\)与\(l\)方向相同，有：

\[\tag{3} \frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)}=|\nabla f(x_0,y_0)| \]

\(e_l\)与\(l\)正交的情况：

若\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，则\(e_l\)与\(l\)正交，有：

\[\tag{4} \frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)}=0 \]

\(e_l\)与\(l\)方向相反的情况：

若\(\theta=\pi\)，则\(e_l\)与\(l\)方向相反，有：

\[\tag{5} \frac{\alpha f}{\alpha l} \Big |_{(x_0,y_0)}=-\;|\nabla f(x_0,y_0)| \]

1.2.3 方向导数求解示例1：求解二元函数的方向导数

设存在函数\(f(x,y)=\frac{1}{2}\cdot (x^2+y^2)\)，存在点\(P(1,1)\)

（1）求解\(f(x,y)\)在点P处增加最快的方向：

设\(f(x,y)\)在点P处增加最快的方向为\(l\)

由题意：\(f’_x(x,y)=x,f’_y(x,y)=y\)，且存在\(\theta=0\)

则有：

\(\nabla f(1,1)=f’_x(1,1)\cdot i + f’_y(1,1)\cdot j=i+j\)

\(\frac{\alpha f}{\alpha l}\Big |_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|\cdot cos 0=\sqrt 2\)

\(\Rightarrow l=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|\cdot cos 0}=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot i+\frac{1}{\sqrt 2}\cdot j\)

(2)求解\(f(x,y)\)在点P处减少最快的方向：

设\(f(x,y)\)在点P处减少最快的方向为\(l\)

由题意：\(f’_x(x,y)=x,f’_y(x,y)=y\)，且存在\(\theta=\pi\)

则有：

\(\nabla f(1,1)=f’_x(1,1)\cdot i + f’_y(1,1)\cdot j=i+j\)

\(\frac{\alpha f}{\alpha l}\Big |_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|\cdot cos \pi=-\sqrt 2\)

\(\Rightarrow l=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|\cdot cos \pi}=(-\frac{1}{\sqrt 2})\cdot i+(-\frac{1}{\sqrt 2})\cdot j\)

(3)求解\(f(x,y)\)在点P处变化率为0的方向：

设\(f(x,y)\)在点P处变化率为0的方向为\(l\)

由题意：\(f’_x(x,y)=x,f’_y(x,y)=y\)，且存在\(\theta=\frac{\pi}{2}\)

则有：

\(\nabla f(1,1)=f’_x(1,1)\cdot i + f’_y(1,1)\cdot j=i+j\)

\(\frac{\alpha f}{\alpha l}\Big |_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|\cdot cos \frac{\pi}{2}=0\)

\(\Rightarrow l=(-\frac{1}{\sqrt 2})\cdot i+\frac{1}{\sqrt 2}\cdot j \quad或\quad l=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot i-\frac{1}{\sqrt 2}\cdot j\)

1.2.4 方向导数求解示例2：求解三元函数的方向导数

设存在函数\(f(x,y,z)=x^3-xy^2-z\)，求\(f(x,y,z)\)在点\(P(1,1,0)\)处变化最快的方向，以及该方向的变化率。

解：

由题意，可得：

\[f(x,y,z)’_x=3x^2-y^2，f(x,y,z)’_y=-2xy，f(x,y,z)’_z=-1 \]

则有：

\[\nabla f(x,y,z)\Big |_{(x=1,y=1,z=0)}=(3x^2-y^2)i-(2xy)j-1k \]

\[\qquad\qquad=2i-2j-k \]

\(f(x,y,z)\)增加最快方向为\(\theta=0\)，则变化率(方向导数)为：

\[|\nabla f(x,y,z)|\cdot cos0= \sqrt{2^2+(-2)^2+（-1）^2} \cdot 1 \]

\[=3 \]

\(f(x,y,z)\)减少最快方向为\(\theta=\pi\)，则变化率(方向导数)为：

\[|\nabla f(x,y,z)|\cdot cos\pi= \sqrt{2^2+(-2)^2+（-1）^2} \cdot -1 \]

\[=-3 \]

由上可得，变化最快\(f(x,y,z)\)在点\(P(1,1,0)\)处变化最快的方向为：

\[增加最快的方向：\frac{\nabla f(1,1,0)}{|\nabla f(1,1,0)|\cdot cos0}=\frac{2}{3}i-\frac{2}{3}j-\frac{1}{3}k \]

\[减少最快的方向：\frac{\nabla f(1,1,0)}{|\nabla f(1,1,0)|\cdot cos\pi}=-\frac{2}{3}i+\frac{2}{3}j+\frac{1}{3}k \]

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