18. 矩阵对角化-二次型

18.1 二次方程的标准化思想

在解析几何中，对于二次曲线：

\[ax^2+bxy+cy^2=1 \]

若需将其标准化，则可通过坐标旋转变换：

\[\begin{cases} x=x’cos\theta-y’sin\theta\\ y=x’sin\theta+y’cos\theta \end{cases} \]

将二次方程化为标准形：

\[mx’^2+ny’^2=1 \]

18.2 二次型

18.2.1定义

设存在二次齐次函数：

\[f(x_1,x_2,…,x_n) \]

\[\qquad\qquad=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+…+a_{nn}x_n^2 \]

\[\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+…+2a_{(n-1)n}x_{(n-1)}x_n \]

则形如\(f(x_1,x_2,…,x_n)\)的二次齐次函数称为\(二次型\)

18.2.2 二次型的可逆变换

设存在二次型\(f(x_1,x_2,…,x_n)\)，其解可描述为：

\[\begin{cases} x_1=p_{11}y_1+p_{12}y_2+…+p_{1n}y_n\\ x_2=p_{21}y_1+p_{22}y_2+…+p_{2n}y_n\\ …\\ x_n=p_{n1}y_1+p_{n2}y_2+…+p_{nn}y_n\\ \end{cases} \Rightarrow x=py \]

则\(f(x_1,x_2,…,x_n)\)可表示为以下两种形式：

标准形

\[f(x_1,x_2,…,x_n)=k_1y_1^2+k_2y_2^2+…+k_ny_n^2 \]

规范形

\[f(x_1,x_2,…,x_n)=y_1^2+y_2^2+…+y_p^2-y_{p+1}^2-…-y_r^2 \]

18.2.3 二次型与对角化

设存在n阶\(对称阵\) A，则可通过\(x\)的行列向量表示以下二次型：

\[f=\sum_{i=1，j=1}^n a_{ij}x_ix_j \]

\[\qquad\qquad\qquad\quad =[x_1,x_2,…,x_n]\cdot A \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ …\\ x_n \end{bmatrix} \]

\[=x\cdot A \cdot x^T \]

由二次型可逆变换，\(x\)可描述为：\(x=py\)，则有：

\[x\cdot A \cdot x^T=y\cdot pAp^T \cdot y^T=y\Lambda y^T（\Lambda为对角矩阵） \]

则由矩阵对角化相关定理得：

\[x\cdot A \cdot x^T=\sum_{i=1}^n\lambda_i \cdot y_{i}^2 \]

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