同构与同态

基本定义

设\(R\)和\(R’\)是两个环，\(f\)是\(R\)到\(R’\)的一个映射，如果\(\forall a,b\in R\),均有:
\(f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b)\)
则称\(f\)为从\(R\)到\(R’\)的同态映射

分类

若\(f\)为单射，称\(f\)为单同态，\(R≌f(R)\),称\(f\)将\(A\)同构嵌入到\(R’\)中。
若\(f\)为满射，称\(f\)为满同态，记作\(R\sim^f R’\)
若\(f\)为双射，则称\(R\)与\(R’\)同构，记为: \(R≌R’\)
通过同构映射，可以将一个环嵌入到另一个环中。
例: 设\(f: Z→Zn\),\(f(m)=[m]\),则\(f\)是一个满同态”。

零同态

定义映射\(f:x\to 0’\)\(\forall x \in R\) 则为同态，同态像为\(f(R)=\{0’\}\)
称此同态为零同态，为任意两个环之间都存在的一个同态。

同态核

\(R’\)的零元\(0’\)的全原像\(f^{-1}(0′)\)称为\(f\)的同态核

\[kerf = f^{-1}(0′) = \{x \in R|f(x) = 0’\} \]

同态核是\(R\)的一个理想，\(f\)是单同态的充要条件是 \(kerf = \{0\}\)

未学部分内容

关于同态的定理（未学）

同态基本定理

子环对应定理

商环同构定理

第二同构定理

整环中的因子分解(未学)

既约元和素元

最大公因子

惟一分解整环（未学）

惟一分解整环及性质

主理想整环

欧氏整环