3.矩阵的行列式-二阶行列式&克莱姆法则&n阶行列式计算

3.1 二阶行列式

定义：

\[形如 \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} 的式子为二阶行列式，其中\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc \]

应用：

设存在以下二元线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]

根据二元线性方程组的消元法求解方程可得：

\[x_1=\frac {b_1a_{22}-b_2a_{12}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\ \]

\[x_2=\frac {b_2a_{11}-b_1a_{21}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \]

记：

\[D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}， D_1= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}， D_2= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \]

则：

\[x_1 = \frac {D_1} {D}， x_2 = \frac {D_2} {D} \]

3.2 克莱姆法则

定义

设存在以下n元线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2\\ …\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases} \]

以上方程组中：

若\(b_1,b_2,…,b_n\)均不为0，则方程为\(非齐次方程\)

若\(b_1,b_2,…,b_n\)均为0，则方程为\(齐次方程\)

根据行列式相关性质，记：

\[D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

则：

\[D_1= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} &…& a_{1n}\\ b_{2} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ b_{3} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ b_{n} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

\[……\\ D_n= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &…& b_{1}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &…& b_{2}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &…& b_{3}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& b_{n}\\ \end{vmatrix} \]

且：

\[x_1=\frac {D_1}{D}，x_2=\frac{D_2}{D}，…，x_n=\frac{D_n}{D} \]

推论

由上，可得：

\[\tag{1} (非齐次方程) \bigwedge (D\neq0) \Leftrightarrow 方程有唯一解 \]

\[\tag{2} (齐次方程) \bigwedge (D\neq0) \Leftrightarrow 方程仅有0解，无非0解 \]

3.3 n阶行列式的计算

3.3.1 全排列

定义：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

设存在一组数列\(S\)={\(a_1,a_2,a_3,…,a_n\)}，其中\(a_i \in N且i=1，2，3，…,n\)

则数列S中的数值共有\(A^n_n=n!\)种排列方式，将S中数值的全排列记为：

\[\tag {1}p_1p_2p_3…p_n \]

3.3.2 逆序数

设存在数列\(S、S_i\)；数值\(a_i\)、\(t_i\)、\(t\)，其中：

\(S\)={\(a_1,a_2,a_3,…,a_n\)}；

若对于数列S中的任意一项数值\(a_i（i=1，2，3，…,n）\)，满足\(a_i\in N\) ，则记\(S_i\)为数列\(S\)的前\((n-i)\)项所在的子序列；

记\(t_i\)为\(S_i\)中数值大于\(a_i\)的项的个数，称\(t_i\)为\(a_i\)的逆序数；

数列S的逆序数总和记为：

\[\tag {2}t=\sum^{n}_{i=1}t_i \]

3.3.3 求n阶行列式

设存在以下n阶行列式|A|：

\[|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &…& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &…& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &…& a_{3n}\\ & & ……\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

\(|A|\)的每一行中，元素列号所形成的数列\(J\)={\(1,2,3,…,n\)}，

数列\(J\)中的数值共有：\(n!\) 种排列方式，设这些数值的全排列为：\(p_1p_2p_3…p_n\)，

\(p_1p_2p_3…p_n\)中，任意一种排列方式的逆序数总和 \(t=\sum_{i=1}^{n}t_i\)

则：

\[\tag{3}|A|=\sum (-1)^ta_{1p_1}\cdot a_{2p_2}\cdot a_{3p_3}…\cdot a_{np_n} \]

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